Lineare Algebra

Liebe Studentin, Lieber Student, Herzlich Willkommen bei Lineare Algebra. Auf dieser Seite findest Du eine Menge Hilfemittel, Skripte und Übungen die Dir bei Deinem Studium helfen. Vielleicht sind sogar Unterlagen von Deiner Universität, Hochschule oder Fachhochschule dabei. 

Lineare Algebra

Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Vektoren, Matrizen und linearen Abbildungen beschäftigt. Es ist ein sehr wichtiges und grundlegendes Gebiet in der Mathematik, das in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik Anwendung findet.

Einige der wichtigsten Konzepte in der Linearen Algebra sind Vektorräume, lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basen und Dimensionen von Vektorräumen, Matrizen, Determinanten und Inversen, lineare Abbildungen, Eigenvektoren und Eigenwerte.

In der Linearen Algebra gibt es viele verschiedene Techniken zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, wie z.B. die Gauss-Jordan-Elimination, die LU-Zerlegung und die QR-Zerlegung. Es gibt auch spezielle Techniken für die Lösung von linearen Gleichungssystemen, die mit Symmetrie oder Orthogonalität in Verbindung stehen.

Lineare Algebra hat Anwendungen in Bereichen wie der Mathematischen Analysis, der Physik, der Ingenieurwissenschaft und weiteren Bereichen. 

Teilgebiete der Linearen Algebra sind:

• Matrizen
• Lineare Funktionen
• Lineare Gleichungssysteme
• Vektoren
• Inversen
• Lineare Optimierung (dazu gibt es einen eigenen Bereich)
• Leontief-Systeme

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind ein wichtiges Konzept in der Mathematik, insbesondere in der Linearen Algebra und der Analysis. Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die einer bestimmten Form folgt: f(x) = a*x + b, wobei a und b konstante Werte sind. Diese Funktionen haben die Eigenschaft, dass die Änderungsrate (der Steigungswinkel) immer gleich ist und dass die graphische Darstellung einer geraden Linie entspricht.

Lineare Funktionen haben viele Anwendungen in Bereiche wie Wissenschaft, Technologie, Ingenieurwesen, Wirtschaft und soziale Wissenschaften. Sie sind in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaft wichtig, wie z.B. in der Regressionsanalyse, der Optimierung und der Lösung von Differentialgleichungen.

Ein weiteres wichtiges Konzept in der Linearen Funktionen ist die Linearisierung, die dazu dient, nichtlineare Prozesse in lineare umzuwandeln um sie leichter lösen zu können. In der linearen Algebra gibt es auch die linearen Abbildungen und die linearen Unterräume, die eng mit linearen Funktionen verbunden sind.

Dieses PDF beinhaltet eine Prüfung mit 6 Aufgaben für Lineare Funktionen
PDF: Analysis: Prüfung Lineare Funktionen

Lineare Algebra der Universität Bremen

Die nachfolgenden PDFs beinhalten Aufgaben für Lineare Algebra von der Universität Bremen für Lehramtsstudenten.

PDF: Mathematik LA Universität Bremen
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 1
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 2
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 3
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 4
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 5
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 6
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 7
PDF: Mathematik LA Universität Bremen Teil 8

Goethe Universität Frankfurt

Hier findest Du ein Skript für die Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der Goethe Universität Frankfurt zum Thema Lineare Algebra:

• Matrizen
• Lineare Gleichungssysteme
• Vektorrechnung
• Inversen

PDF: Lineare Algebra Skript Goethe Universität Frankfurt

FH Oberösterreich

Das folgende PDF enthält ein Skript zu Lineare Gleichungssysteme von der FH Oberösterreich

PDF: Lineare Gleichungssysteme FH Oberösterreich

Das folgende PDF enthält ein Skript zu Matrizen von der FH Oberösterreich

PDF: Skript Matrizen FH Oberösterreich

Das folgende PDF enthält ein Skript zu Vektoren von der FH Oberösterreich

PDF: Lineare Algebra Vektoren FH Oberösterreich

Steinbeis SMI – School of Managing and Innovation

Hier findest Du drei Aufgaben zur Lineare Algebra inklusive der Lösungen von der Steinbeis Hochschule SMI – School of Managing and Innovation.

PDF: Lineare Algebra Aufgaben Steinbeis Hochschule SMI

Lineare Algebra Übungen

Das nachfolgende PDF enthält Übungsaufgaben von der Universität Potsdam – Institut für Mathematik für Studenten, die auf Lehramt studieren.

PDF: Lineare-Algebra-Universitaet-Potsdam

Allgemeine Übungen zur Algebra für Studenten:

PDF: Algebra Übungen
PDF: Algebra Übungen Teil 2′
PDF: Vektoren Applied Mathematics

Übungen zu Lineare Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Gruppe von linearen Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen. Die Gleichungen in einem linearen Gleichungssystem haben die allgemeine Form:

a1x1 + a2x2 + … + an*xn = b

wobei a1, a2, … , an und b konstante Werte sind und x1, x2, …, xn die Unbekannten sind.

Es gibt viele Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, wie zum Beispiel die Gauss-Elimination, die Gauss-Jordan-Elimination, die LU-Zerlegung, die QR-Zerlegung und die Inversion von Matrizen. Die Wahl der Methode hängt von der Größe und der Struktur des Systems ab und von der Anforderung an die Genauigkeit der Lösung.

Lineare Gleichungssysteme haben viele Anwendungen in Bereichen wie der Mathematischen Analysis, der Physik, der Ingenieurwissenschaft, der Finanzmathematik, der Ökonometrie und vielen anderen. Sie tauchen in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik auf und sind oft die Grundlage für die Lösung von komplexen Problemen.

In dem nachfolgenden PDF findest Du einige Aufgaben zu Linearen Gleichungssysteme mithilfe des Gauß Algorithmus und zur Differentialrechnung. 

PDF: Mathematik-LineareGleichungssysteme mit Lösung

Skript Lineare Algebra

Das nachfolgende PDF beinhaltet ein Skript inklusive Mitschriften des Studenten. 

PDF: Skript Lineare Algebra inklusive Mitschrift

Matrizenmultiplikation

Die Matrizenmultiplikation ist ein wichtiger Operation in der Linearen Algebra, die verwendet wird, um zwei Matrizen zu multiplizieren. Es besteht darin, die Einträge jeder Matrix zu kombinieren, um eine neue Matrix zu erhalten.

Eine Matrix A mit Größe m x n und eine Matrix B mit Größe n x p, können miteinander multipliziert werden und ergeben eine Matrix C mit Größe m x p. In der Matrixmultiplikation werden die Einträge der ersten Matrix mit den Einträgen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse werden dann addiert.

Die Matrizenmultiplikation hat viele Anwendungen in Bereiche wie der linearen Algebra, der Physik, der Ingenieurwissenschaft, der Finanzmathematik, der Ökonometrie und vielen anderen. Es ist auch ein grundlegendes Werkzeug in der Mathematischen Analysis und der Theoretischen Physik. Es ist wichtig zu beachten, dass die Matrizenmultiplikation nicht immer definiert ist, da die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich sein muss mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix.

Spezialfälle für die die Kommutativität

Die Kommutativität ist ein Begriff aus der Mathematik, der besagt, dass die Reihenfolge der Operationen bei der Ausführung von Berechnungen keine Auswirkung auf das Ergebnis hat. In der Mathematik kommutativ sind vor allem die Addition und die Multiplikation.

In der Mathematik gibt es jedoch auch spezielle Fälle, in denen die Kommutativität nicht gilt. Ein Beispiel dafür ist die Matrixmultiplikation, die in der Regel nicht kommutativ ist, das heißt, die Reihenfolge der Matrizen beeinflusst das Ergebnis.

Ein weiteres Beispiel ist die Quaternionenmultiplikation, die auch nicht kommutativ ist. In der Theoretischen Physik wird die Quaternionenmultiplikation verwendet, um Rotationsmatrizen zu berechnen.

Ein weiteres Beispiel ist die Funktionenkomposition: die Reihenfolge der Funktionen beeinflusst das Ergebnis.

Es gibt viele andere spezielle Fälle, in denen die Kommutativität nicht gilt und es ist wichtig zu beachten, dass die Kommutativität für die verschiedenen Operationen und Gebiete unterschiedlich sein kann.